27 Ο μαθηματικός τύπος μετρήσεων

Όπως έχει ήδη αναφερθεί,‎ όταν η κάμερα είναι στραμμένη προς ένα αντικείμενο,‎ δε δέχεται ακτινοβολία μόνον από το ίδιο το αντικείμενο. Δέχεται επίσης ακτινοβολία και από το περιβάλλον,‎ η οποία φτάνει στην κάμερα μέσω ανάκλασης πάνω στην επιφάνεια του αντικειμένου. Και οι δύο συνεισφορές σε ακτινοβολία υφίστανται σε κάποιο βαθμό εξασθένηση λόγω της ατμόσφαιρας που μεσολαβεί στη διαδρομή της μέτρησης. Εδώ υπεισέρχεται μια τρίτη συνεισφορά σε ακτινοβολία,‎ από την ίδια την ατμόσφαιρα.

Αυτή η περιγραφή της κατάστασης κατά τη μέτρηση,‎ όπως απεικονίζεται στο σχήμα που ακολουθεί,‎ είναι μέχρι στιγμής μια πραγματική περιγραφή των πραγματικών συνθηκών. Έχουμε όμως αμελήσει κάποιους παράγοντες,‎ όπως π.χ. το φως του ήλιου που σκεδάζεται στην ατμόσφαιρα ή παρασιτική ("αδέσποτη")‎ ακτινοβολία από έντονες πηγές ακτινοβολίας εκτός του οπτικού μας πεδίου. Οι διαταραχές αυτές είναι δύσκολο να ποσοτικοποιηθούν,‎ ωστόσο στις περισσότερες περιπτώσεις ευτυχώς είναι αρκετά μικρές ώστε να θεωρηθούν αμελητέες. Στην περίπτωση που δεν είναι αμελητέες,‎ η διαμόρφωση των μετρήσεων είναι πιθανό να καθιστά τον κίνδυνο τέτοιων διαταραχών εμφανή,‎ τουλάχιστον στα μάτια ενός εκπαιδευμένου χειριστή. Στην περίπτωση αυτή,‎ αποτελεί ευθύνη του χειριστή να τροποποιήσει τις συνθήκες των μετρήσεων προκειμένου να αποφύγει τις εν λόγω διαταραχές π.χ. αλλάζοντας κατεύθυνση σκόπευσης,‎ καλύπτοντας τις έντονες πηγές ακτινοβολίας κ.λπ.

Εάν αποδεχθούμε την παραπάνω περιγραφή,‎ μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το σχήμα που ακολουθεί για να διατυπώσουμε ένα μαθηματικό τύπο υπολογισμού της θερμοκρασίας ενός αντικειμένου από τη βαθμονομημένη έξοδο της κάμερας.

Εικόνα 27.1 Σχηματική αναπαράσταση της γενικής θερμογραφικής κατάστασης μετρήσεων.1: Περιβάλλον. 2: Αντικείμενο. 3: Ατμόσφαιρα. 4: Κάμερα

Ας κάνουμε την παραδοχή ότι η ισχύς ακτινοβολίας W που λαμβάνεται από μια πηγή που αποτελεί μέλαν σώμα σε θερμοκρασία Tsource σε μικρή απόσταση παράγει ένα σήμα εξόδου κάμερας Usource το οποίο είναι ανάλογα προς την είσοδο ισχύος (κάμερα γραμμικής απεικόνισης ισχύος)‎. Τότε,‎ μπορούμε να διατυπώσουμε τα εξής (εξίσωση 1)‎:

ή,‎ με απλοποιημένο συμβολισμό:

όπου το C είναι μια σταθερά.

Εάν η πηγή ήταν τεφρό σώμα με συντελεστή εκπομπής ε,‎ τότε η λαμβανόμενη ακτινοβολία θα ήταν εWsource .

Είμαστε πλέον έτοιμοι να γράψουμε τους τρεις όρους ισχύος ακτινοβολίας που συνεισφέρουν στην κάμερα:

Εκπομπή από το αντικείμενο = ετWobj ,‎ όπου ε είναι ο συντελεστής εκπομπής του αντικειμένου και τ είναι ο συντελεστής διαπερατότητας της ατμόσφαιρας. Η θερμοκρασία του αντικειμένου είναι Tobj .

Εκπομπή μέσω ανάκλασης από πηγές του περιβάλλοντος = (1 – ε)‎τWrefl ,‎ όπου (1 – ε)‎ είναι ο συντελεστής ανάκλασης του αντικειμένου. Οι πηγές του περιβάλλοντος έχουν θερμοκρασία Trefl .

Έχει γίνει η παραδοχή ότι η θερμοκρασία Trefl είναι ίδια για όλες τις εκπέμπουσες επιφάνειες που ανήκουν στο ημισφαίριο που διακρίνεται από ένα σημείο πάνω στην επιφάνεια του αντικειμένου. Φυσικά,‎ η παραδοχή αυτή αποτελεί συχνά μια απλοποίηση της πραγματικής κατάστασης. Είναι,‎ ωστόσο,‎ μια αναγκαία απλοποίηση προκειμένου να προκύψει ένας εύκολος στη χρήση του μαθηματικός τύπος,‎ ενώ στο Trefl μπορεί – τουλάχιστον σε θεωρητικό επίπεδο – να δοθεί μια τιμή που να αντιπροσωπεύει τη φαινόμενη θερμοκρασία ενός σύνθετου περιβάλλοντος.

Σημειώνεται επίσης ότι έχει γίνει η παραδοχή πως ο συντελεστής εκπομπής του περιβάλλοντος ισούται με 1. Αυτό είναι σωστό σύμφωνα με το νόμο του Kirchhoff: Όλη η ακτινοβολία που προσπίπτει σε επιφάνειες του περιβάλλοντος θα απορροφηθεί τελικά από τις ίδιες επιφάνειες. Συνεπώς,‎ συντελεστής εκπομπής = 1. (Σημειώνεται ωστόσο ότι,‎ σύμφωνα με την πλέον πρόσφατη περιγραφή,‎ θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ολόκληρη η σφαίρα που περιβάλλει το αντικείμενο.)‎

Εκπομπή από την ατμόσφαιρα = (1 – τ)‎τWatm ,‎ όπου (1 – τ)‎ είναι ο συντελεστής εκπομπής της ατμόσφαιρας. Η θερμοκρασία της ατμόσφαιρας είναι Tatm .

Μπορούμε πλέον να διατυπώσουμε τη σχέση που δίνει τη συνολική λαμβανόμενη ισχύς ακτινοβολίας (εξίσωση 2)‎:

Πολλαπλασιάσουμε κάθε όρο με τη σταθερά C της εξίσωσης 1 και αντικαθιστούμε τα γινόμενα CW με το αντίστοιχο U σύμφωνα με την ίδια εξίσωση,‎ οπότε προκύπτει η παρακάτω σχέση (εξίσωση 3)‎:

Επιλύουμε την εξίσωση 3 ως προς Uobj (εξίσωση 4)‎:

Αυτός είναι ο γενικός μαθηματικός τύπος μετρήσεων που χρησιμοποιείται σε όλες τις θερμογραφικές συσκευές της FLIR Systems . Οι τάσεις που χρησιμοποιούνται στο μαθηματικό τύπο είναι ως εξής:

Τραπέζι 27.1 Τάσεις

Uobj	Υπολογιζόμενη τάση εξόδου της κάμερας για ένα μέλαν σώμα θερμοκρασίας Tobj δηλ. πρόκειται για μια τάση που μπορεί να μετατραπεί απευθείας στην πραγματική ζητούμενη θερμοκρασία του αντικειμένου.
Utot	Μετρούμενη τάση εξόδου της κάμερας σε πραγματικές συνθήκες.
Urefl	Θεωρητική τάση εξόδου της κάμερας για ένα μέλαν σώμα θερμοκρασίας Trefl σύμφωνα με τη βαθμονόμηση.
Uatm	Θεωρητική τάση εξόδου της κάμερας για ένα μέλαν σώμα θερμοκρασίας Tatm σύμφωνα με τη βαθμονόμηση.

Ο χειριστής πρέπει να εισαγάγει τις τιμές των εξής παραμέτρων,‎ προκειμένου να γίνει ο υπολογισμός:

συντελεστής εκπομπής του αντικειμένου ε,‎
σχετική υγρασία,‎
Tatm
απόσταση του αντικειμένου (Dobj )‎
(φαινόμενη)‎ θερμοκρασία του περιβάλλοντος του αντικειμένου (ή αλλιώς θερμοκρασία ανάκλασης περιβάλλοντος)‎ Trefl και
θερμοκρασία της ατμόσφαιρας Tatm

Η εργασία αυτή μερικές φορές είναι προβληματική για το χειριστή,‎ διότι συνήθως δεν υπάρχουν εύκολοι τρόποι εξεύρεσης της ακριβούς τιμής του συντελεστή εκπομπής του αντικειμένου και του συντελεστή διαπερατότητας της ατμόσφαιρας που ισχύουν στην πράξη. Οι δύο θερμοκρασίες αποτελούν συνήθως μικρότερο πρόβλημα,‎ με την προϋπόθεση ότι δεν υπάρχουν στο περιβάλλον μεγάλες και έντονες πηγές ακτινοβολίας.

Από τα παραπάνω προκύπτει η εξής ερώτηση: Πόσο σημαντικό είναι να γνωρίζουμε τις ακριβείς τιμές των παραμέτρων αυτών; Για να αντιληφθούμε το πρόβλημα αυτό σε βάθος,‎ ας εξετάσουμε διάφορες περιπτώσεις μετρήσεων και ας συγκρίνουμε τα σχετικά μεγέθη των τριών προαναφερθέντων όρων ακτινοβολίας. Αυτό θα μας δώσει κάποια ένδειξη του πότε είναι σημαντικό να γνωρίζουμε ακριβείς τιμές και για ποιες παραμέτρους.

Στα σχήματα που ακολουθούν,‎ απεικονίζονται τα σχετικά μεγέθη των τριών όρων ακτινοβολίας για τρεις διαφορετικές θερμοκρασίες αντικειμένων,‎ δύο τιμές συντελεστή εκπομπής αντικειμένου και δύο φασματικές περιοχές: SW και LW. Οι υπόλοιπες παράμετροι λαμβάνουν τις ακόλουθες αμετάβλητες τιμές:

τ = 0,‎88
Trefl = +‎20°C
Tatm = +‎20°C

Είναι προφανές ότι η μέτρηση χαμηλών θερμοκρασιών αντικειμένων είναι πιο κρίσιμη από τη μέτρηση υψηλών θερμοκρασιών,‎ διότι οι πηγές ακτινοβολίας που ‘παρεμποδίζουν τη μέτρηση’ είναι σχετικά πολύ ισχυρότερες στην πρώτη περίπτωση. Επίσης,‎ εάν ο συντελεστής εκπομπής του αντικειμένου είναι χαμηλός,‎ η κατάσταση επιδεινώνεται ακόμη περισσότερο.

Θα πρέπει τέλος να δώσουμε μια απάντηση στο ερώτημα κατά πόσον μπορούμε να χρησιμοποιούμε την καμπύλη βαθμονόμησης πέραν του υψηλότερου σημείου βαθμονόμησης,‎ αυτό δηλ. που λέγεται παρεκβολή (ή παρέκταση)‎. Ας υποθέσουμε ότι,‎ σε μια συγκεκριμένη περίπτωση,‎ μετρήσαμε το Utot = 4,‎5 V. Το υψηλότερο σημείο βαθμονόμησης για την κάμερα ήταν της τάξης των 4,‎1 V,‎ μια τιμή άγνωστη στο χειριστή. Συνεπώς,‎ ακόμη κι αν το αντικείμενο ήταν ένα μέλαν σώμα,‎ δηλ. Uobj = Utot ,‎ στην πραγματικότητα κάνουμε παρεκβολή της καμπύλης βαθμονόμησης όταν μετατρέπουμε τα 4,‎5 V σε θερμοκρασία.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι το αντικείμενο δεν είναι μέλαν σώμα,‎ ότι έχει συντελεστή εκπομπής 0,‎75 και ότι ο συντελεστής διαπερατότητας είναι 0,‎92. Υποθέτουμε επίσης ότι οι δύο τελευταίοι όροι της εξίσωσης 4 δίνουν μαζί το αποτέλεσμα 0,‎5 V. Τότε,‎ ο υπολογισμός του Uobj με τη βοήθεια της εξίσωσης 4 θα δώσει: Uobj = 4,‎5 / 0,‎75 / 0,‎92 – 0,‎5 = 6,‎0. Εδώ πρόκειται για μια αρκετά ακραία παρεκβολή,‎ ιδίως εάν λάβουμε υπόψη ότι ο ενισχυτής βίντεο μπορεί να περιορίζει την έξοδο στα 5 V! Σημειώνεται,‎ ωστόσο,‎ ότι η εφαρμογή της καμπύλης βαθμονόμησης είναι μια θεωρητική διαδικασία χωρίς ηλεκτρονικούς ή άλλους περιορισμούς. Πιθανολογούμε ότι,‎ εάν δεν υπήρχαν περιορισμοί σήματος στην κάμερα και εάν η κάμερα είχε βαθμονομηθεί πολύ πέραν των 5 V,‎ η προκύπτουσα καμπύλη θα έμοιαζε πολύ με την πραγματική μας καμπύλη μετά από παρεκβολή πέραν των 4,‎1 V,‎ με την προϋπόθεση ότι ο αλγόριθμος βαθμονόμησης βασίζεται στη φυσική θεωρία περί ακτινοβολιών,‎ όπως ισχύει για τον αλγόριθμο της FLIR Systems . Φυσικά,‎ πρέπει να υπάρχει κάποιο όριο σε αυτές τις παρεκβολές.

Εικόνα 27.2 Σχετικά μεγέθη πηγών ακτινοβολίας σε διάφορες συνθήκες μετρήσεων (κάμερα SW)‎. 1: Θερμοκρασία αντικειμένου. 2: Συντελεστής εκπομπής. Obj: Ακτινοβολία του αντικειμένου.Refl: Ακτινοβολία από ανάκλαση. Atm: Ακτινοβολία της ατμόσφαιρας. Σταθερές παράμετροι:τ = 0.88; Trefl = 20°C; Tatm = 20°C.

Εικόνα 27.3 Σχετικά μεγέθη πηγών ακτινοβολίας σε διάφορες συνθήκες μετρήσεων (κάμερα LW)‎. 1: Θερμοκρασία αντικειμένου. 2: Συντελεστής εκπομπής. Obj: Ακτινοβολία του αντικειμένου. Refl: Ακτινοβολία από ανάκλαση. Atm: Ακτινοβολία της ατμόσφαιρας. Σταθερές παράμετροι: τ = 0.88; Trefl = 20°C; Tatm = 20°C.