26 Teoria termografii

26.1 Wprowadzenie

Zagadnienie promieniowania podczerwonego i technik termograficznych nadal pozostaje zagadnieniem nowym dla wielu przyszłych użytkowników kamery termowizyjnej. W tym rozdziale przedstawiona jest teoria termografii.

26.2 Widmo elektromagnetyczne

Widmo elektromagnetyczne jest umownie podzielone na szereg obszarów długości fal,‎ nazywanych pasmami,‎ które rozróżniane są poprzez metody generowania i wykrywania promieniowania. Nie ma zasadniczej różnicy między promieniowaniem w różnych pasmach widma elektromagnetycznego. We wszystkich pasmach promieniowanie podlega tym samym prawom,‎ a jedyną różnicą jest długość fali.

Rysunek 26.1 Widmo elektromagnetyczne. 1: promieniowanie Roentgena; 2: UV; 3: światło widzialne; 4: podczerwień; 5: mikrofale; 6: fale radiowe.

W termografii wykorzystuje się pasmo podczerwieni. Na krótkofalowym końcu zakresu przypada granica pasma światła widzialnego,‎ czyli głęboka czerwień. Na granicy długofalowej zakres podczerwieni łączy się z zakresem mikrofalowych fal radiowych (milimetrowych)‎.

Pasmo podczerwieni jest często dzielone na cztery mniejsze pasma,‎ których granice są również określone umownie. Są to: bliska podczerwień (0,‎75–3 μm)‎,‎ średnia podczerwień (3–6 μm)‎,‎ daleka podczerwień (6–15 μm)‎ i bardzo daleka podczerwień (15–100 μm)‎. Mimo że długości fal podawane są w μm (mikrometrach)‎,‎ to w tym obszarze widma nadal często używane są inne jednostki,‎ np. nanometry (nm)‎ i Ångströmy (Å)‎.

Zależność między wartościami wyrażonymi w różnych jednostkach jest następująca:

26.3 Promieniowanie ciała czarnego

Ciało czarne jest to obiekt,‎ który pochłania całe padające na niego promieniowanie niezależnie od długości fali. Pozornie niewłaściwa nazwa ciało czarne użyta w stosunku do przedmiotu emitującego promieniowanie jest wyjaśniona przez prawo Kirchhoffa (od nazwiska Gustava Roberta Kirchhoffa,‎ 1824–1887)‎,‎ które mówi,‎ że ciało zdolne do absorpcji całego promieniowania o dowolnej długości fali jest również zdolne do emitowania tego promieniowania.

Rysunek 26.2 Gustav Robert Kirchhoff (1824–1887)‎

Budowa źródła będącego ciałem czarnym jest bardzo prosta. Charakterystyki promieniowania otworu w izotermicznej wnęce wykonanej z nieprzezroczystego materiału pochłaniającego promieniowanie niemal dokładnie odpowiada właściwościom ciała czarnego. Praktyczne wykorzystanie tej zasady do budowy idealnego pochłaniacza promieniowania sprowadza się do użycia pudełka nieprzepuszczającego światła na całej powierzchni z wyjątkiem otworu na jednym z boków. Całe promieniowanie wpadające przez otwór jest rozpraszane i pochłaniane wskutek wielokrotnych odbić,‎ tak że jedynie niewielki jego ułamek może wydostać się z powrotem. Współczynnik pochłaniania otworu jest niemal równy współczynnikowi ciała czarnego i prawie jednakowy dla wszystkich długości fal.

Wyposażając taką izotermiczną wnękę w odpowiedni grzejnik uzyskuje się tak zwany radiator wnękowy. Równomiernie rozgrzewana izotermiczna wnęka generuje promieniowanie ciała czarnego,‎ którego charakterystyka zależy wyłącznie od temperatury wnęki. Takie radiatory wnękowe są często używane w laboratoriach jako radiacyjne źródła odniesienia (wzorce)‎ do kalibrowania przyrządów termograficznych,‎ takich jak np. kamery firmy FLIR Systems .

Jeśli temperatura promieniowania ciała czarnego wzrośnie powyżej 525°C,‎ źródło staje się widzialne i przestaje być postrzegane przez oczy jako czarne. Jest to początkowo czerwona temperatura barwowa promiennika,‎ która wraz z dalszym wzrostem temperatury przechodzi w pomarańczową lub żółtą. W istocie tak zwana temperatura barwowa ciała jest zdefiniowana jako temperatura,‎ do której musiałoby zostać ogrzane ciało czarne,‎ aby wyglądało tak samo jak dane ciało.

Poniżej omówione zostały trzy wyrażenia opisujące promieniowanie emitowane z ciała czarnego.

26.3.1 Prawo Plancka

Rysunek 26.3 Max Planck (1858–1947)‎

Max Planck (1858–1947)‎ opisał rozkład widmowy promieniowania pochodzącego z ciała czarnego następującym wzorem:

gdzie:

Wλb	emitancja widmowa ciała czarnego dla długości fali λ.
c	prędkość światła = 3 × 108 m/s
h	stała Plancka = 6,‎6 × 10-34 J s.
k	stała Boltzmanna = 1,‎4 × 10-23 J/K.
T	temperatura bezwzględna (K)‎ ciała czarnego.
λ	długość fali (μm)‎.

Wzór Plancka przedstawiony w postaci wykresu dla różnych temperatur jest zbiorem krzywych. Na dowolnej krzywej Plancka emitancja widmowa wynosi zero przy λ = 0,‎ a następnie gwałtownie rośnie do maksimum przy długości fali λmax ,‎ za którą ponownie spada do zera przy bardzo dużych długościach fal. Im wyższa temperatura,‎ tym mniejsze długości fal,‎ przy których występuje maksimum.

Rysunek 26.4 Emitancja widmowa ciała czarnego wyrażona przez prawo Plancka dla różnych temperatur bezwzględnych. 1: Emitancja widmowa (W/cm2 × 103(μm)‎)‎; 2: Długość fali (μm)‎

26.3.2 Prawo przesunięć Wiena

Różniczkując równanie Plancka względem λ i wyznaczając maksimum,‎ otrzymujemy:

Jest to wzór Wiena (od nazwiska Wilhelma Wiena,‎ 1864–1928)‎,‎ który matematycznie wyraża znane zjawisko zmiany kolorów od czerwonego do żółtego w miarę wzrostu temperatury radiatora. Długość fali barwy jest taka sama,‎ jak wyznaczona długość fali λmax . Dobre przybliżenie wartości λmax dla danej temperatury ciała czarnego można uzyskać,‎ stosując eksperymentalnie wyznaczoną skalę 3000/T μm. Zatem w przypadku bardzo gorących gwiazd,‎ takich jak Syriusz (11 000 K)‎,‎ emitujących światło niebieskawo-białe,‎ szczyt emitancji widmowej przypada na niewidoczną część widma w obszarze ultrafioletu,‎ przy długości fali 0,‎27 μm.

Rysunek 26.5 Wilhelm Wien (1864–1928)‎

Słońce (około 6 000 K)‎ emituje światło żółte,‎ a jego maksimum przypada na wartość 0,‎5 μm pośrodku widma światła widzialnego.

W temperaturze pokojowej (300 K)‎ szczyt emitancji przypada na długość fali 9,‎7 μm i znajduje się w dalekiej podczerwieni,‎ natomiast w temperaturze ciekłego azotu (77 K)‎ maksimum znikomej emitancji przypada na długość fali 38 μm i znajduje się w bardzo dalekiej podczerwieni.

Rysunek 26.6 Krzywe Plancka przedstawione w skali półlogarytmicznej w zakresie od 100 do 1000 K. Linia kropkowana reprezentuje miejsca występowania maksimum emitancji dla każdej temperatury zgodnie z prawem przesunięć Wiena. 1: Emitancja widmowa (W/cm2 (μm)‎)‎; 2: Długość fali (μm)‎.

26.3.3 Prawo Stefana-Boltzmanna

Całkując wzór Plancka w granicach od λ = 0 do λ = ∞,‎ otrzymujemy całkowitą emitancję (Wb)‎ ciała czarnego:

Jest to wzór Stefana-Boltzmanna (od nazwisk Josef Stefan,‎ 1835–1893,‎ i Ludwig Boltzmann,‎ 1844–1906)‎,‎ z którego wynika,‎ że całkowita moc emisyjna ciała czarnego jest proporcjonalna do czwartej potęgi jego temperatury bezwzględnej. W interpretacji graficznej Wb odpowiada obszarowi pod krzywą Plancka dla danej temperatury. Można wykazać,‎ że emitancja energetyczna w przedziale od λ = 0 do λmax wynosi jedynie 25% wartości całkowitej,‎ co stanowi w przybliżeniu ilość promieniowania słonecznego,‎ która leży w widzialnym zakresie widma.

Rysunek 26.7 Josef Stefan (1835–1893)‎ i Ludwig Boltzmann (1844–1906)‎

Używając wzoru Stefana-Boltzmanna do obliczenia mocy wypromieniowywanej przez ciało ludzkie w temperaturze 300 K na powierzchni około 2 m2 otrzymujemy wartość 1 kW. Taka utrata ciepła byłaby możliwa,‎ gdyby nie absorpcja promieniowania pochodzącego z otoczenia o temperaturze zbliżonej do temperatury ciała i oczywiście gdyby nie ubranie.

26.3.4 Ciała nieczarne emitujące promieniowanie

Dotychczas omówione zostały jedynie ciała czarne i ich promieniowanie. Jednak obiekty rzeczywiste niemal nigdy nie podlegają tym prawom w szerokim zakresie widma — mimo że ich zachowanie może być zbliżone do zachowania ciała czarnego w określonych przedziałach długości fal. Na przykład farba,‎ która wydaje się idealnie biała w widzialnym zakresie widma,‎ staje się szara przy długości fali około 2 μm,‎ zaś powyżej 3 μm jest niemal czarna.

Mogą zachodzić trzy procesy,‎ z powodu których obiekt rzeczywisty nie będzie zachowywał się tak,‎ jak ciało czarne: część padającego promieniowania α może być pochłaniana,‎ część ρ może być odbijana,‎ a część τ może być przepuszczana. Ponieważ wszystkie te czynniki są w mniejszym lub większym stopniu zależne od długości fali,‎ użyto indeksu λ,‎ aby podkreślić zależność ich definicji od widma. A zatem:

Widmowy współczynnik pochłaniania αλ = stosunek mocy pochłanianej przez ciało do mocy padającej na nie.
Widmowy współczynnik odbicia ρλ = stosunek mocy odbitej przez ciało do mocy padającej na nie.
Widmowy współczynnik przepuszczania τλ = stosunek mocy przechodzącej przez ciało do mocy padającej na nie.

Suma tych trzech czynników dla dowolnej długości fali musi być równa jeden,‎ stąd zależność:

Dla materiałów nieprzezroczystych τλ = 0 równanie upraszcza się więc do postaci:

Kolejny współczynnik,‎ nazywany emisyjnością,‎ wyraża ułamek ε emitancji ciała czarnego wygenerowany przez ciało o określonej temperaturze. Mamy zatem definicję:

Emisyjność widmowa ελ = stosunek emitancji widmowej ciała do emitancji ciała czarnego w tej samej temperaturze i dla tej samej długości fali.

W zapisie matematycznym wartość ta może być wyrażona jako stosunek emitancji widmowej ciała do emitancji ciała czarnego:

Istnieją trzy rodzaje źródeł promieniowania,‎ różniące się sposobem,‎ w jaki emitancja każdego z nich zależy od długości fali.

Ciało czarne,‎ dla którego ελ = ε = 1
Ciało szare,‎ dla którego ελ = ε = const. < 1
Radiator selektywny,‎ dla którego ε zależy od długości fali.

Zgodnie z prawem Kirchhoffa dla dowolnego materiału emisyjność widmowa i pochłanialność widmowa ciała są sobie równe dla dowolnej jednakowej temperatury i długości fali. A zatem:

Dla ciała nieprzezroczystego otrzymujemy (ponieważ αλ +‎ ρλ = 1)‎:

Dla dobrze wypolerowanych materiałów ελ zbliża się do zera,‎ tak więc dla materiału doskonale odbijającego (tzn. doskonałego lustra)‎ mamy:

Dla ciała szarego wzór Stefana-Boltzmanna przyjmuje postać:

Oznacza to,‎ że całkowita moc emitowana przez ciało szare jest równa mocy ciała czarnego w tej samej temperaturze pomniejszonej proporcjonalnie do wartości ε dla ciała szarego.

Rysunek 26.8 Emitancja widmowa dla trzech typów radiatorów. 1: Emitancja widmowa; 2: Długość fali; 3: Ciało czarne; 4: Radiator selektywny; 5: Ciało szare.

Rysunek 26.9 Emisyjność widmowa dla trzech typów radiatorów. 1: Emisyjność widmowa; 2: Długość fali; 3: Ciało czarne; 4: Ciało szare; 5: Radiator selektywny.

26.4 Materiały częściowo przezroczyste w podczerwieni

Rozważmy teraz niemetaliczne półprzezroczyste ciało,‎ na przykład w postaci grubej płaskiej płyty z plastiku. Gdy płyta jest ogrzewana,‎ promieniowanie powstające w jej wnętrzu musi pokonać drogę do powierzchni,‎ w czasie której jest częściowo pochłaniane. Ponadto po dotarciu do powierzchni część promieniowania jest odbijana z powrotem do wnętrza. Odbite do wewnątrz promieniowanie jest także częściowo pochłaniane,‎ ale jego część dociera do przeciwległej powierzchni; większość tego promieniowania ucieka na zewnątrz,‎ ale część jest ponownie odbijana do wnętrza. Mimo że wielokrotne odbicia są coraz słabsze musimy je zsumować przy wyznaczaniu całkowitej emitancji płyty. Po zsumowaniu otrzymanego szeregu geometrycznego otrzymujemy emisyjność płyty częściowo przezroczystej:

Gdy płyta staje się nieprzezroczysta,‎ wzór ten redukuje się do postaci:

Ta ostatnia zależność jest szczególnie użyteczna,‎ ponieważ często łatwiej jest zmierzyć odbijalność niż bezpośrednio zmierzyć emisyjność.