34 Θεωρία της θερμογραφίας

34.1 Εισαγωγή

Το αντικείμενο της ακτινοβολίας υπερύθρων και της σχετικής τεχνικής της θερμογραφίας εξακολουθεί να αποτελεί "terra incognita" σε πολλούς χρήστες κάμερας υπερύθρων. Στην ενότητα αυτή,‎ περιγράφεται η θεωρία της θερμογραφίας.

34.2 Το ηλεκτρομαγνητικό φάσμα

Το ηλεκτρομαγνητικό φάσμα διαιρείται με αυθαίρετο τρόπο σε διάφορες περιοχές μηκών κύματος,‎ που ονομάζονται ζώνες (ή περιοχές ή μπάντες)‎,‎ οι οποίες διακρίνονται μεταξύ τους βάσει των μεθόδων που εφαρμόζονται για την παραγωγή και ανίχνευση της ακτινοβολίας. Δεν υπάρχει θεμελιώδης διαφορά ανάμεσα στις ακτινοβολίες που αντιστοιχούν στις διάφορες ζώνες του ηλεκτρομαγνητικού φάσματος. Όλες τους διέπονται από τους ίδιους νόμους και οι μόνες τους διαφορές είναι εκείνες που οφείλονται στο διαφορετικό μήκος κύματος.

Εικόνα 34.1 Το ηλεκτρομαγνητικό φάσμα. 1: Ακτίνες X. 2: Υπεριώδες (UV)‎. 3: Ορατό. 4: Υπέρυθρο (IR)‎. 5: Μικροκύματα. 6: Ραδιοκύματα.

Η θερμογραφία αξιοποιεί τη ζώνη υπερύθρων του φάσματος. Στην πλευρά των μικρότερων μηκών κύματος,‎ το σύνορο της ζώνης υπερύθρων βρίσκεται στο όριο του ορατού φάσματος,‎ στο βαθύ κόκκινο. Στην πλευρά των μεγαλύτερων μηκών κύματος,‎ η ζώνη υπερύθρων συγχωνεύεται με τα μήκη κύματος της ζώνης μικροκυμάτων,‎ της τάξης του χιλιοστόμετρου.

Η ζώνη υπερύθρων συχνά υποδιαιρείται σε τέσσερις μικρότερες ζώνες,‎ τα σύνορα των οποίων επίσης έχουν επιλεγεί με αυθαίρετο τρόπο. Αυτές είναι: η ζώνη των εγγύς υπερύθρων (0,‎75–3 μm)‎,‎ η ζώνη μέσων υπερύθρων (3–6 μm)‎,‎ η ζώνη των άπω υπερύθρων (6–15 μm)‎ και η ζώνη των απωτάτων υπερύθρων (15–100 μm)‎. Παρ' όλο που τα μήκη κύματος εκφράζονται σε μm (μικρόμετρα)‎,‎ εξακολουθούν να χρησιμοποιούνται κι άλλες μονάδες μέτρησης του μήκους κύματος σε αυτήν την περιοχή του φάσματος,‎ π.χ. nm (νανόμετρα)‎ και Å (Ångström)‎.

Η σχέση που συνδέει τις διάφορες μονάδες μέτρησης του μήκους κύματος είναι:

34.3 Ακτινοβολία μέλανος σώματος

Το μέλαν σώμα ορίζεται ως ένα αντικείμενο που απορροφά κάθε ακτινοβολία που προσπίπτει σε αυτό,‎ με οποιοδήποτε μήκος κύματος. Η προφανώς αδόκιμη ονομασία μέλαν (μαύρο)‎,‎ η οποία αφορά ένα αντικείμενο που εκπέμπει ακτινοβολία,‎ επεξηγείται από το Νόμο του Kirchhoff (από το όνομα του επιστήμονα Gustav Robert Kirchhoff,‎ 1824–1887)‎,‎ σύμφωνα με τον οποίο ένα σώμα που μπορεί να απορροφά όλες τις ακτινοβολία σε οποιοδήποτε μήκος κύματος είναι εξ ίσου ικανό να εκπέμπει ακτινοβολία.

Εικόνα 34.2 Gustav Robert Kirchhoff (1824–1887)‎

Η κατασκευή μιας πηγής μέλανος σώματος είναι κατ' αρχήν πολύ απλή. Τα χαρακτηριστικά ακτινοβολίας ενός ανοίγματος σε μια ισόθερμη κοιλότητα κατασκευασμένη από αδιαφανές και απορροφητικό υλικό ταυτίζονται σχεδόν απόλυτα με τις ιδιότητες ενός μέλανος σώματος. Μια πρακτική εφαρμογή της αρχής αυτής στην κατασκευή ενός αντικειμένου που θα απορροφά όλες τις προσπίπτουσες σε αυτό ακτινοβολίες είναι ένα κουτί απόλυτα κλειστό από όλες τις έδρες του με εξαίρεση ένα μικρό άνοιγμα σε μια από αυτές. Κάθε ακτινοβολία που εισέρχεται μέσω του ανοίγματος αυτού στο κουτί σκεδάζεται και απορροφάται μετά από επανειλημμένες ανακλάσεις,‎ συνεπώς ένα απειροελάχιστο μέρος της θα μπορούσε δυνητικά να διαφύγει. Οι ιδιότητες μέλανος σώματος που παρατηρούνται στο άνοιγμα αυτό ταυτίζονται σχεδόν απόλυτα με εκείνες του μέλανος σώματος και είναι σχεδόν τέλειες σε κάθε μήκος κύματος.

Εάν κατασκευάσουμε μια τέτοια ισόθερμη κοιλότητα με κατάλληλο θερμαντήρα,‎ προκύπτει ο λεγόμενος ακτινοβολητής κοιλότητας. Μια ισόθερμη κοιλότητα που θερμαίνεται ομοιόμορφα σε μια θερμοκρασία παράγει ακτινοβολία μέλανος σώματος,‎ τα χαρακτηριστικά της οποίας καθορίζονται αποκλειστικά από τη θερμοκρασία της κοιλότητας. Τέτοιοι ακτινοβολητές κοιλότητας χρησιμοποιούνται συχνά ως πηγές ακτινοβολίας σε πρότυπα αναφοράς θερμοκρασίας στο εργαστήριο για τη βαθμονόμηση θερμογραφικών οργάνων,‎ όπως π.χ. μια κάμερα της FLIR Systems.

Εάν η θερμοκρασία της ακτινοβολίας μέλανος σώματος αυξηθεί πάνω από τους 525°C,‎ τότε η πηγή αρχίζει να γίνεται ορατή και δεν δείχνει πλέον μαύρη στο ανθρώπινο μάτι. Πρόκειται για την αρχική θερμοκρασία που δίνει κόκκινο χρώμα σε μια πηγή θερμότητας,‎ το οποίο στη συνέχεια γίνεται πορτοκαλί ή κίτρινο καθώς αυξάνεται περαιτέρω η θερμοκρασία. Στην πραγματικότητα,‎ η λεγόμενη θερμοκρασία χρώματος ενός αντικειμένου ορίζεται ως η θερμοκρασία στην οποία θα έπρεπε να φτάσει θερμαινόμενο ένα μέλαν σώμα για να έχει την ίδια όψη.

Ας εξετάσουμε τώρα τις παρακάτω τρεις εκφράσεις που περιγράφουν την ακτινοβολία που εκπέμπεται από ένα μέλαν σώμα.

34.3.1 Νόμος του Planck

Εικόνα 34.3 Max Planck (1858–1947)‎

Ο Max Planck (1858–1947)‎ κατάφερε να περιγράψει τη φασματική κατανομή της ακτινοβολίας ενός μέλανος σώματος με τον παρακάτω μαθηματικό τύπο:

όπου:

Wλb	ο φασματικός συντελεστής εκπομπής μέσω ακτινοβολίας του μέλανος σώματος σε μήκος κύματος λ
c	η ταχύτητα του φωτός = 3 × 108 m/s
h	η σταθερά Planck = 6,‎6 × 10-34 Joule sec.
k	η σταθερά Boltzmann = 1,‎4 × 10-23 Joule/K.
T	η απόλυτη θερμοκρασία (K)‎ ενός μέλανος σώματος
λ	το μήκος κύματος (μm)‎

Ο μαθηματικός τύπος του Planck,‎ εάν απεικονιστεί σε μορφή διαγράμματος για διάφορες θερμοκρασίες,‎ παράγει μια οικογένεια καμπυλών. Κατά μήκος οποιαδήποτε καμπύλης Planck,‎ ο φασματικός συντελεστής εκπομπής είναι μηδέν στο σημείο λ = 0,‎ στη συνέχεια αυξάνεται μέχρι μια μέγιστη τιμή σε μήκος κύματος λmax και τέλος προσεγγίζει ξανά το μηδέν σε πολύ μεγάλα μήκη κύματος. Όσο υψηλότερη είναι η θερμοκρασία,‎ τόσο πιο μικρό είναι το μήκος κύματος στο οποίο εμφανίζεται η μέγιστη τιμή φασματικής ισχύος εκπομπής.

Εικόνα 34.4 Ο φασματικός συντελεστής εκπομπής μέσω ακτινοβολίας του μέλανος σώματος σύμφωνα με το νόμο του Planck,‎ σε μορφή γραφήματος για διάφορες απόλυτες θερμοκρασίες. 1: Φασματικός συντελεστής εκπομπής μέσω ακτινοβολίας (W/cm2 × 103(μm)‎)‎. 2: Μήκος κύματος (μm)‎

34.3.2 Νόμος της μετατόπισης του Wien

Διαφορίζοντας το μαθηματικό τύπο του Planck ως προς λ και βρίσκοντας το μέγιστο,‎ προκύπτει:

Αυτός είναι ο μαθηματικός τύπος του Wien (από το όνομα του επιστήμονα Wilhelm Wien,‎ 1864–1928)‎,‎ ο οποίος εκφράζει με μαθηματικό τρόπο την κοινή παρατήρηση ότι τα χρώματα μεταβάλλονται από το κόκκινο προς το πορτοκαλί ή το κίτρινο καθώς αυξάνεται η θερμοκρασία ενός ακτινοβολητή θερμότητας. Το μήκος κύματος του χρώματος ταυτίζεται με εκείνο που υπολογίζεται για το λmax. Μια καλή προσέγγιση της τιμής του λmax για μια δεδομένη θερμοκρασία μέλανος σώματος λαμβάνεται με εφαρμογή του πρακτικού κανόνα 3.000/T μm. Συνεπώς,‎ ένα πολύ θερμό άστρο όπως π.χ. ο Σείριος (11.000 K)‎,‎ που εκπέμπει γαλαζωπό λευκό φως,‎ ακτινοβολεί με τη μέγιστη τιμή του φασματικού συντελεστή εκπομπής μέσω ακτινοβολίας να βρίσκεται εντός του αόρατου φάσματος υπεριώδους,‎ σε μήκος κύματος 0,‎27 μm.

Εικόνα 34.5 Wilhelm Wien (1864–1928)‎

Ο Ήλιος (στα 6.000 K περίπου)‎ εκπέμπει κίτρινο φως,‎ με μέγιστη τιμή στα 0,‎5 μm περίπου,‎ στο μέσον του ορατού φάσματος.

Σε θερμοκρασία δωματίου (300 K)‎,‎ η μέγιστη τιμή του συντελεστή εκπομπής μέσω ακτινοβολίας βρίσκεται στα 9,‎7 μm,‎ στη ζώνη άπω υπερύθρων,‎ ενώ σε θερμοκρασία υγρού αζώτου (77 K)‎ η μέγιστη τιμή της σχεδόν αμελητέας ακτινοβολίας ενέργειας βρίσκεται στα 38 μm,‎ στα μήκη κύματος των απωτάτων υπερύθρων.

Εικόνα 34.6 Καμπύλες του Planck χαραγμένες σε ημιλογαριθμικό χαρτί από 100 K μέχρι 1000 K. Η διακεκομμένη γραμμή αντιπροσωπεύει το γεωμετρικό τόπο των μέγιστων τιμών συντελεστή εκπομπής μέσω ακτινοβολίας σε κάθε θερμοκρασία,‎ όπως περιγράφεται από το νόμο μετατόπισης του Wien. 1: Φασματικός συντελεστής εκπομπής μέσω ακτινοβολίας (W/cm2 (μm)‎)‎. 2: Μήκος κύματος (μm)‎

34.3.3 Νόμος των Stefan-Boltzmann

Μετά από ολοκλήρωση του μαθηματικού τύπου του Planck μεταξύ λ = 0 και λ = ∞,‎ λαμβάνεται ο συνολικός συντελεστής εκπομπής μέσω ακτινοβολίας (Wb)‎ ενός μέλανος σώματος:

Αυτός είναι ο μαθηματικός τύπος των Stefan-Boltzmann (από τα ονόματα των επιστημόνων Josef Stefan,‎ 1835–1893,‎ και Ludwig Boltzmann,‎ 1844–1906)‎,‎ σύμφωνα με τον οποίο η συνολική ισχύς εκπομπής ενός μέλανος σώματος είναι ανάλογη προς την απόλυτη θερμοκρασία του υψωμένη στην τέταρτη δύναμη. Σε γραφική μορφή,‎ το Wb αντιπροσωπεύει το εμβαδόν της περιοχής κάτω από την καμπύλη Planck για μια συγκεκριμένη θερμοκρασία. Μπορεί να αποδειχθεί ότι ο συντελεστής εκπομπής μέσω ακτινοβολίας στο διάστημα από λ = 0 έως λmax αποτελεί μόλις το 25 % της συνολικής,‎ που αντιπροσωπεύει κατά προσέγγιση το μέρος της ακτινοβολίας του Ηλίου εντός του ορατού φάσματος.

Εικόνα 34.7 Josef Stefan (1835–1893)‎ και Ludwig Boltzmann (1844–1906)‎

Με το μαθηματικό τύπο των Stefan-Boltzmann για τον υπολογισμό της ισχύος που ακτινοβολείται από το ανθρώπινο σώμα,‎ σε θερμοκρασία 300 K και με εμβαδόν εξωτερικής επιφανείας 2 m2 περίπου,‎ προκύπτει 1 kW. Αυτή η απώλεια ισχύος δε θα μπορούσε να διατηρείται σταθερή εάν δεν υπήρχε η αντισταθμιστική απορρόφηση ακτινοβολίας από τις γύρω επιφάνειες,‎ σε θερμοκρασίες χώρου που δεν αποκλίνουν σημαντικά από τη θερμοκρασία του σώματος – ή,‎ φυσικά,‎ την προσθήκη ρούχων.

34.3.4 Ακτινοβολητές που δεν είναι μέλανα σώματα

Μέχρι τώρα,‎ περιγράφηκαν μόνον οι ακτινοβολητές που αποτελούν μέλανα σώματα και η ακτινοβολία μέλανος σώματος. Ωστόσο,‎ στην πραγματικότητα τα αντικείμενα δεν συμμορφώνονται σχεδόν ποτέ με τους νόμους αυτούς σε μια εκτεταμένη περιοχή μηκών κύματος – αν και είναι δυνατό να προσεγγίζουν τη συμπεριφορά του μέλανος σώματος σε ορισμένες περιοχές του φάσματος. Για παράδειγμα,‎ ένας συγκεκριμένος τύπος λευκής βαφής μπορεί να φαίνεται απόλυτα λευκός στην ορατή περιοχή του φάσματος,‎ αλλά εμφανίζεται σαφώς γκρι στα 2 μm περίπου,‎ ενώ πέρα από τα 3 μm εμφανίζεται σχεδόν μαύρο.

Υπάρχουν τρεις διεργασίες που είναι δυνατό να λάβουν χώρα και να μην επιτρέψουν σε ένα πραγματικό αντικείμενο να συμπεριφερθεί ως μέλαν σώμα: ένα κλάσμα της προσπίπτουσας ακτινοβολίας α μπορεί να απορροφάται,‎ ένα κλάσμα ρ μπορεί να ανακλάται και ένα κλάσμα τ μπορεί να μεταδίδεται μέσω του αντικειμένου. Επειδή όλοι αυτοί οι παράγοντες εξαρτώνται λίγο-πολύ από το μήκος κύματος,‎ χρησιμοποιείται ο δείκτης λ προκειμένου να υποδηλώνεται η φασματική εξάρτηση των ορισμών τους. Συνεπώς:

Φασματικός συντελεστής απορρόφησης αλ= λόγος της φασματικής ακτινοβολούμενης ισχύος που απορροφάται από ένα αντικείμενο προς εκείνης που προσπίπτει σε αυτό.
Φασματικός συντελεστής ανάκλασης ρλ= λόγος της φασματικής ακτινοβολούμενης ισχύος που ανακλάται από ένα αντικείμενο προς εκείνης που προσπίπτει σε αυτό.
Φασματικός συντελεστής μετάδοσης τλ= λόγος της φασματικής ακτινοβολούμενης ισχύος που μεταδίδεται μέσα από ένα αντικείμενο προς εκείνης που προσπίπτει σε αυτό.

Το άθροισμα αυτών των τριών παραγόντων πρέπει πάντοτε να δίνει τη μονάδα σε κάθε μήκος κύματος,‎ συνεπώς προκύπτει η σχέση:

Στα αδιαφανή υλικά,‎ τλ = 0 οπότε η σχέση απλοποιείται ως εξής:

Ένας άλλος παράγοντας,‎ που καλείται συντελεστής εκπομπής,‎ απαιτείται για να περιγράψει το κλάσμα ε του συντελεστή εκπομπής μέσω ακτινοβολίας ενός μέλανος σώματος που παράγεται από ένα αντικείμενο σε μια συγκεκριμένη θερμοκρασία. Έτσι,‎ προκύπτει ο εξής ορισμός:

Φασματικός συντελεστής εκπομπής ελ= λόγος της φασματικής ακτινοβολούμενης ισχύος που προέρχεται από ένα αντικείμενο προς εκείνης που προέρχεται από ένα μέλαν σώμα στην ίδια θερμοκρασία και μήκος κύματος.

Μαθηματικώς εκφραζόμενος,‎ ο ανωτέρω ορισμός μπορεί να γραφεί ως ο λόγος του φασματικού συντελεστή εκπομπής του αντικειμένου προς εκείνου ενός μέλανος σώματος,‎ ως εξής:

Γενικά,‎ υπάρχουν τρία είδη πηγών ακτινοβολίας,‎ τα οποία διακρίνονται μεταξύ τους από τον τρόπο με τον οποίο ο φασματικός συντελεστής εκπομπής μεταβάλλεται με το μήκος κύματος.

Ένα μέλαν σώμα για το οποίο ελ = ε = 1
Τεφρό σώμα,‎ για το οποίο ελ = ε = σταθερά μικρότερη του 1
Επιλεκτικός ακτινοβολητής,‎ στον οποίο το ε μεταβάλλεται με το μήκος κύματος

Σύμφωνα με το νόμο του Kirchhoff,‎ για κάθε υλικό ο φασματικός συντελεστής εκπομπής ισούται με τον φασματικό συντελεστή απορρόφησης ενός σώματος σε κάθε καθορισμένη θερμοκρασία και μήκος κύματος. Σε μορφή μαθηματικού τύπου:

Από τον τύπο αυτό προκύπτει ότι,‎ για ένα αδιαφανές υλικό (επειδή αλ +‎ ρλ = 1)‎ ισχύει:

Για πολύ στιλβωμένα υλικά,‎ το ελ προσεγγίζει το μηδέν,‎ συνεπώς για ένα πλήρως ανακλαστικό υλικό (δηλ. έναν τέλειο καθρέπτη)‎ προκύπτει:

Για έναν ακτινοβολητή που είναι τεφρό σώμα,‎ ο μαθηματικός τύπος των Stefan-Boltzmann γίνεται ως εξής:

Αυτό σημαίνει ότι η συνολική εκπεμπόμενη ισχύς ενός τεφρού σώματος είναι ίδια με εκείνη ενός μέλανος σώματος στην ίδια θερμοκρασία,‎ μειωμένη κατ' αναλογία κατά την τιμή ε του τεφρού σώματος.

Εικόνα 34.8 Φασματικός συντελεστής εκπομπής μέσω ακτινοβολίας για τρεις τύπους ακτινοβολητών. 1: Φασματικός συντελεστής εκπομπής μέσω ακτινοβολίας. 2: Μήκος κύματος. 3: Μέλαν σώμα 4: Επιλεκτικός ακτινοβολητής. 5: Τεφρό σώμα.

Εικόνα 34.9 Φασματικός συντελεστής εκπομπής για τρεις τύπους ακτινοβολητών. 1: Φασματικός συντελεστής εκπομπής. 2: Μήκος κύματος. 3: Μέλαν σώμα 4: Τεφρό σώμα. 5: Επιλεκτικός ακτινοβολητής.

34.4 Υλικά ημι-διαφανή στις υπέρυθρες

Ας εξετάσουμε τώρα ένα μη μεταλλικό,‎ ημι-διαφανές σώμα – ας πούμε,‎ με τη μορφή μιας επίπεδης πλάκας μεγάλου πάχους από πλαστικό υλικό. Όταν η πλάκα θερμανθεί,‎ η ακτινοβολία που παράγεται στο εσωτερικό της θα πρέπει να μεταδοθεί προς τις επιφάνειες μέσω του υλικού,‎ στο οποίο κατά ένα μέρος απορροφάται. Επιπλέον,‎ μόλις φτάσει στην επιφάνεια,‎ ένα μέρος της ανακλάται ξανά προς το εσωτερικό. Η προς τα μέσα ανακλώμενη ακτινοβολία απορροφάται κατά ένα μέρος και πάλι,‎ αλλά ένα μέρος της φτάνει μέχρι την άλλη επιφάνεια μέσω της οποίας το μεγαλύτερο μέρος της διαφεύγει αλλά ένα μέρος της και πάλι ανακλάται προς τα μέσα. Παρόλο που οι διαδοχικές ανακλάσεις εξασθενούν ολοένα και περισσότερο,‎ θα πρέπει να προστεθούν προκειμένου να υπολογιστεί ο συνολικός συντελεστής εκπομπής της πλάκας. Όταν προστεθούν οι όροι της προκύπτουσας γεωμετρικής σειράς,‎ προκύπτει ο φαινόμενος συντελεστής εκπομπής μιας ημι-διαφανούς πλάκας ως εξής:

Όταν η πλάκα καταστεί αδιαφανείς,‎ ο παραπάνω μαθηματικός τύπος απλοποιείται ως εξής:

Η τελευταία αυτή σχέση είναι ιδιαίτερα βολική,‎ διότι συχνά είναι ευκολότερο να μετρήσει κανείς άμεσα το συντελεστή ανάκλασης παρά το συντελεστή εκπομπής.